Rで線形代数:コーシー･シュワルツの不等式

# --------------------------------------------------
# コーシー･シュワルツの不等式のシミュレーション
# --------------------------------------------------

# ベクトルの内積を計算する関数
dot_product <- function(u, v) {
  sum(u * v)
}

# ベクトルのノルム（長さ）を計算する関数
norm_vec <- function(v) {
  sqrt(sum(v^2))
}

# --- シナリオ1: ランダムなベクトルで不等式が成り立つことの確認 ---
cat("--- シナリオ1: ランダムなベクトル ---\n")

# 3次元のランダムなベクトルを2つ生成
seed <- 20250625
set.seed(seed)
u <- rnorm(3)
v <- rnorm(3)

cat("ベクトルu:", u, "\n")
cat("ベクトルv:", v, "\n")

# 不等式の左辺を計算: |u・v|
lhs <- abs(dot_product(u, v))

# 不等式の右辺を計算: ||u|| * ||v||
rhs <- norm_vec(u) * norm_vec(v)

cat("\n左辺 |u・v|:", lhs, "\n")
cat("右辺 ||u||*||v||:", rhs, "\n")

cat("\n不等式の検証:", lhs, "<=", rhs, "->", lhs <= rhs, "\n")
cat("→ 不等式は成り立っています。\n\n")


# --- シナリオ2: 等号が成立するケース（ベクトルが平行な場合） ---
cat("--- シナリオ2: 等号が成立するケース（平行なベクトル） ---\n")

# ベクトルu'を定義
u_prime <- c(1, 2, 3)

# u'と平行なベクトルv'を作成 (v' = 2 * u')
v_prime <- 2 * u_prime

cat("ベクトルu':", u_prime, "\n")
cat("ベクトルv':", v_prime, "\n")

# 不等式の左辺と右辺を計算
lhs_parallel <- abs(dot_product(u_prime, v_prime))
rhs_parallel <- norm_vec(u_prime) * norm_vec(v_prime)

cat("\n左辺 |u'・v'|:", lhs_parallel, "\n")
cat("右辺 ||u'||*||v'||:", rhs_parallel, "\n")

cat("\n不等式の検証:", lhs_parallel, "<=", rhs_parallel, "->", lhs_parallel <= rhs_parallel, "\n")

# Rの数値計算上の微小な誤差を考慮して、等しいかを確認
are_equal <- all.equal(lhs_parallel, rhs_parallel)
cat("左辺と右辺は等しいか？ ->", isTRUE(are_equal), "\n")
cat("→ ベクトルが平行な場合、等号が成立することが確認できました。\n\n")


# --- シナリオ3: 多数のベクトルでシミュレーション ---
cat("--- シナリオ3: 1000回のシミュレーション ---\n")
n_sim <- 1000
results <- logical(n_sim) # 結果を格納するベクトル

for (i in 1:n_sim) {
  # 2次元から10次元までのランダムな次元数のベクトルを生成
  dim <- sample(2:10, 1)
  vec1 <- rnorm(dim)
  vec2 <- rnorm(dim)

  # 不等式を検証
  lhs_sim <- abs(dot_product(vec1, vec2))
  rhs_sim <- norm_vec(vec1) * norm_vec(vec2)

  results[i] <- (lhs_sim <= rhs_sim)
}

# すべてのシミュレーションで不等式が成り立ったか確認
if (all(results)) {
  cat(n_sim, "回のシミュレーションすべてで、コーシー･シュワルツの不等式が成り立ちました。\n")
} else {
  cat("不等式が成り立たないケースが見つかりました。\n")
}