Rで線形代数:シルベスター行列

Rで 線形代数:シルベスター行列 を確認します。

シルベスター行列とは

シルベスター行列（Sylvester Matrix）とは、2つの1変数多項式から作られる正方行列のことです。この行列の最も重要な役割は、2つの多項式が共通の根（解）を持つかどうかを判定することです。

定義

2つの多項式 p(x) と q(x) があるとします。

  • p(x) = a_m * x^m + a_{m-1} * x^{m-1} + ... + a_1 * x + a_0 （m次式）
  • q(x) = b_n * x^n + b_{n-1} * x^{n-1} + ... + b_1 * x + b_0 （n次式）

このとき、p(x) と q(x) のシルベスター行列 S(p, q) は、サイズが (m + n) × (m + n) の正方行列となり、以下のように構成されます。

  1. 最初の n 行には、多項式 p(x) の係数 (a_m, a_{m-1}, ..., a_0) を1列ずつずらしながら配置します。
  2. 続く m 行には、多項式 q(x) の係数 (b_n, b_{n-1}, ..., b_0) を1列ずつずらしながら配置します。
  3. 行列の残りの要素はすべて 0 で埋められます。

例： p(x) = a_2*x^2 + a_1*x + a_0 (m=2) と q(x) = b_1*x + b_0 (n=1) の場合、シルベスター行列は 3×3 行列になります。

| a2 a1 a0 |
| b1 b0  0 |
| 0  b1 b0 |

上の行が p(x) の係数から、下の2行が q(x) の係数から作られています。

終結式（リザルタント）と共通根

シルベスター行列の行列式 det(S(p, q)) のことを終結式（Resultant）と呼びます。この終結式には、次の性質があります。

2つの多項式 p(x) と q(x) が共通の根を持つ ⇔ 終結式 det(S(p, q)) が 0 になる

この性質により、私たちは多項式の根を具体的に計算することなく、係数だけで作られる行列の行列式を調べるだけで、共通根の有無を判定できます。

R言語によるシミュレーション

以下に、シルベスター行列を生成し、その行列式（終結式）を計算することで、2つの多項式の共通根の有無を判定するシミュレーションのRコードを示します。

  • ケース1: 共通根を持つ2つの多項式
  • ケース2: 共通根を持たない2つの多項式

それぞれのケースでシルベスター行列とその行列式がどのようになるかを確認します。さらに、多項式のグラフをプロットして、結果を視覚的に検証します。

# 多項式の係数ベクトルからシルベスター行列を生成する関数
create_sylvester_matrix <- function(p_coeffs, q_coeffs) {
  # 多項式の次数を取得 (係数の数 - 1)
  m <- length(p_coeffs) - 1
  n <- length(q_coeffs) - 1

  # シルベスター行列のサイズは (m + n) x (m + n)
  dim <- m + n

  # 0で初期化された行列を作成
  sylvester_mat <- matrix(0, nrow = dim, ncol = dim)

  # p(x)の係数を行列の上半分に配置
  for (i in 1:n) {
    sylvester_mat[i, i:(i + m)] <- p_coeffs
  }

  # q(x)の係数を下半分に配置
  for (i in 1:m) {
    sylvester_mat[n + i, i:(i + n)] <- q_coeffs
  }

  return(sylvester_mat)
}

# 多項式を計算するためのヘルパー関数
poly_eval <- function(x, coeffs) {
  # 係数ベクトルの長さ
  n <- length(coeffs)
  # 高次の項から計算
  sapply(x, function(val) {
    sum(coeffs * val^((n - 1):0))
  })
}


# --- シミュレーション開始 ---

cat("====================================================\n")
cat(" シルベスター行列のシミュレーション\n")
cat("====================================================\n\n")

# ケース1: 共通根を持つ多項式
cat("--- ケース1: 共通根を持つ多項式 ---\n\n")

# p1(x) = x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
# 根は x = 2, -2
p1_coeffs <- c(1, 0, -4)

# q1(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
# 根は x = 1, 2
q1_coeffs <- c(1, -3, 2)

cat("多項式 p1(x) = x^2 - 4\n")
cat("多項式 q1(x) = x^2 - 3x + 2\n")
cat("これらの多項式は共通根 x = 2 を持ちます。\n\n")

# シルベスター行列を生成
S1 <- create_sylvester_matrix(p1_coeffs, q1_coeffs)

cat("生成されたシルベスター行列 S1:\n")
print(S1)

# 行列式（終結式）を計算
det_S1 <- det(S1)

cat("\n行列式 (終結式) det(S1) =", det_S1, "\n")
cat("-> 結果: 行列式が0になりました。理論通り、共通根を持つことが確認できました。\n\n")


# ケース2: 共通根を持たない多項式
cat("\n--- ケース2: 共通根を持たない多項式 ---\n\n")

# p2(x) = x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
# 根は x = 2, -2
p2_coeffs <- c(1, 0, -4)

# q2(x) = x + 1
# 根は x = -1
q2_coeffs <- c(1, 1)

cat("多項式 p2(x) = x^2 - 4\n")
cat("多項式 q2(x) = x + 1\n")
cat("これらの多項式は共通根を持ちません。\n\n")

# シルベスター行列を生成
S2 <- create_sylvester_matrix(p2_coeffs, q2_coeffs)

cat("生成されたシルベスター行列 S2:\n")
print(S2)

# 行列式（終結式）を計算
det_S2 <- det(S2)

cat("\n行列式 (終結式) det(S2) =", det_S2, "\n")
cat("-> 結果: 行列式が0ではありません。理論通り、共通根を持たないことが確認できました。\n")


# --- 結果の可視化 ---

# 描画範囲を設定
x_range <- seq(-5, 5, length.out = 200)

# 描画デバイスを2分割
par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))

# ケース1のプロット
plot(x_range, poly_eval(x_range, p1_coeffs),
  type = "l", col = "blue", lwd = 2,
  ylim = c(-10, 10), xlab = "x", ylab = "y",
  main = "ケース1: 共通根を持つ場合"
)
lines(x_range, poly_eval(x_range, q1_coeffs), col = "red", lwd = 2)
abline(h = 0, lty = 2, col = "gray") # x軸
points(2, 0, col = "purple", pch = 19, cex = 2) # 共通根
legend("topleft",
  legend = c("p1(x) = x^2 - 4", "q1(x) = x^2 - 3x + 2", "共通根 x=2"),
  col = c("blue", "red", "purple"), lty = c(1, 1, NA), pch = c(NA, NA, 19), bty = "n"
)

# ケース2のプロット
plot(x_range, poly_eval(x_range, p2_coeffs),
  type = "l", col = "blue", lwd = 2,
  ylim = c(-10, 10), xlab = "x", ylab = "y",
  main = "ケース2: 共通根を持たない場合"
)
lines(x_range, poly_eval(x_range, q2_coeffs), col = "red", lwd = 2)
abline(h = 0, lty = 2, col = "gray") # x軸
legend("topleft",
  legend = c("p2(x) = x^2 - 4", "q2(x) = x + 1"),
  col = c("blue", "red"), lty = 1, bty = "n"
)
====================================================
 シルベスター行列のシミュレーション
====================================================

--- ケース1: 共通根を持つ多項式 ---

多項式 p1(x) = x^2 - 4
多項式 q1(x) = x^2 - 3x + 2
これらの多項式は共通根 x = 2 を持ちます。

生成されたシルベスター行列 S1:
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    0   -4    0
[2,]    0    1    0   -4
[3,]    1   -3    2    0
[4,]    0    1   -3    2

行列式 (終結式) det(S1) = 0 
-> 結果: 行列式が0になりました。理論通り、共通根を持つことが確認できました。


--- ケース2: 共通根を持たない多項式 ---

多項式 p2(x) = x^2 - 4
多項式 q2(x) = x + 1
これらの多項式は共通根を持ちません。

生成されたシルベスター行列 S2:
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    0   -4
[2,]    1    1    0
[3,]    0    1    1

行列式 (終結式) det(S2) = -3 
-> 結果: 行列式が0ではありません。理論通り、共通根を持たないことが確認できました。
Figure 1

以上です。