Rの関数:adf.test {tseries}

x

検定の対象となる数値ベクトル、または時系列オブジェクトを指定します。分析したい時系列データをこの引数に渡します。

alternative

対立仮説の種類を指定する引数です。以下の2つから選択します。

• "stationary"（デフォルト）: 対立仮説を「時系列は定常である」と設定します。p値が設定した有意水準より小さい場合に、データは定常であると判断されます。

• "explosive": 対立仮説を「時系列は発散過程である」と設定します。発散過程とは、時間とともに値が指数関数的に発散していくような時系列を指します。こちらもp値が有意水準より小さい場合に、データは発散過程であると判断されます。

k

検定の回帰式に含めるラグ（lag） の次数を指定します。拡張ディッキー–フラー検定では、時系列の持つ自己相関を考慮するために、自身の過去の値との差分（ラグ）を説明変数に加えます。適切なラグ次数 k を選択することは、検定の信頼性を担保する上で重要です。

デフォルトでは、trunc((length(x) - 1)^(1/3)) というSchwertの提案による経験則に基づいて、データの長さに応じたラグ次数が自動的に計算されます。

1. alternative = "stationary" (デフォルト)

• 帰無仮説 (H₀): 単位根が存在する (ρ = 1)。
• 対立仮説 (H₁): 時系列は定常である (ρ < 1)。

この設定では、検定は「ρが1よりも小さいかどうか」を検証します。ρが1より小さい場合、時系列は過去の値の影響が時間とともに減衰していくため、平均に回帰する性質（定常性）を持ちます。ですので、p値が小さく帰無仮説が棄却された場合、「データは定常である」と結論付けます。

2. alternative = "explosive"

• 帰無仮説 (H₀): 単位根が存在する (ρ = 1)。
• 対立仮説 (H₁): 時系列は発散過程である (ρ > 1)。

こちらの設定では、検定は「ρが1よりも大きいかどうか」を検証します。ρが1より大きい場合、時系列は過去の値の影響が時間とともに増大していくため、値が発散していく性質を持ちます。ですので、p値が小さく帰無仮説が棄却された場合、「データは発散過程である」と結論付けます。

3. まとめ

要するに、adf.testは常に「このデータは単位根過程（ランダムウォーク）ですか？」という問いを基準点（帰無仮説）にしています。alternative引数は、「もし単位根過程でないとしたら、その代わりにどのような性質を想定しますか？（平均回帰的ですか、それとも発散していきますか？）」という、対抗馬となる仮説を指定する役割を果たします。

4. シミュレーションによる確認

"explosive"なサンプルデータを作成し、alternative引数を変えて検定を実行してみましょう。

# 再現性を確保するために乱数のシードを設定します
set.seed(seed)

# 発散過程のサンプルデータ作成
n <- 100
# 係数ρ > 1 となる自己回帰モデルを考えます
explosive_data <- numeric(n)
explosive_data[1] <- 1

# y[t] = 1.05 * y[t-1] + error
for (i in 2:n) {
  explosive_data[i] <- 1.05 * explosive_data[i - 1] + rnorm(1, 0, 0.5)
}

# データをプロットして確認します
plot(explosive_data,
  type = "l", col = "purple",
  main = "サンプルデータ3：発散過程",
  xlab = "時間", ylab = "値"
)

cat("--- ケース1：alternative = 'stationary' で検定 ---\n")
# 対立仮説が「定常である」ですので、p値は大きくなり、
# 帰無仮説「単位根が存在する」は棄却されないと予測されます。
adf_result3_1 <- adf.test(explosive_data, alternative = "stationary")
print(adf_result3_1)

cat("--- ケース2：alternative = 'explosive' で検定 ---\n")
# 対立仮説が「発散過程である」ですので、p値は小さくなり、
# 帰無仮説「単位根が存在する」が棄却されると予測されます。
adf_result3_2 <- adf.test(explosive_data, alternative = "explosive")
print(adf_result3_2)

--- ケース1：alternative = 'stationary' で検定 ---

    Augmented Dickey-Fuller Test

data:  explosive_data
Dickey-Fuller = 0.2186, Lag order = 4, p-value = 0.99
alternative hypothesis: stationary

--- ケース2：alternative = 'explosive' で検定 ---

    Augmented Dickey-Fuller Test

data:  explosive_data
Dickey-Fuller = 0.2186, Lag order = 4, p-value = 0.01
alternative hypothesis: explosive

1. ケース1の発散過程に対して alternative = ‘stationary’ で検定した場合、p値が0.99となり、帰無仮説は棄却されません。よって、「非定常ではない」とは言えず、「定常である」という結論には至りません。
2. ケース2の発散過程に対して alternative = ‘explosive’で検定した場合、p値が0.01と有意水準を下回りましたので、帰無仮説を棄却します。よって、対立仮説である「データは発散過程である」ことを示唆しています。

単位根過程 (Unit Root Process): ρ = 1

• モデル式: yₜ = yₜ₋₁ + εₜ
• 振る舞い: この式はランダムウォークとして知られています。「次の位置は、現在の位置にランダムな一歩を加えたもの」という意味です。
• 過去からの影響: 過去の値 yₜ₋₁ の影響をそのまま100%受け継ぎます。過去に受けたランダムな変動（ショック）は、減衰することなく未来永劫にわたって影響し続けます。つまり「ショックが恒久的（permanent）である」ことになります。
• 平均への回帰: 決まった平均値に戻ろうとする性質（平均回帰性）がありません。一度離れた場所から元の水準に戻る見込みは小さく、どこまでもランダムにさまよい続けます。

発散過程 (Explosive Process): ρ > 1

• モデル式: yₜ = ρ * yₜ₋₁ + εₜ (ただし ρ > 1)
• 振る舞い: 「次の値は、現在の値を1倍以上に増幅させたものに、ランダムな変動を加えたもの」という意味になります。
• 過去からの影響: 過去の値の影響を100%以上に増幅させて受け継ぎます。過去に受けたショックは、時間とともにその影響が指数関数的に増大していきます。
• 平均への回帰: 平均に回帰するどころか、特定の方向（正または負）へ指数関数的に発散していきます。

対比のための参考：定常過程 (Stationary Process): |ρ| < 1

• モデル式: yₜ = ρ * yₜ₋₁ + εₜ (ただし |ρ| < 1)
• 振る舞い: 「次の値は、現在の値を1倍未満に減衰させたものに、ランダムな変動を加えたもの」です。
• 過去からの影響: 過去の値の影響は、時間とともに減衰していきます。過去に受けたショックの影響は一時的（transitory）であり、いずれ消滅します。
• 平均への回帰: 長期的な平均値の周りを変動する性質（平均回帰性）を持ちます。

まとめ

視覚的な比較

3つの過程をシミュレーションで比較します。

# 再現性を確保するために乱数のシードを設定します
set.seed(seed)

n <- 100 # データポイントの数
shocks <- rnorm(n, 0, 1) # 共通のランダムな変動（ショック）

# 1. 発散過程のデータを生成します (ρ = 1.05)
explosive_data <- numeric(n)
explosive_data[1] <- shocks[1]
for (i in 2:n) {
  explosive_data[i] <- 1.05 * explosive_data[i - 1] + shocks[i]
}

# 2. 単位根過程のデータを生成します (ρ = 1.0)
unit_root_data <- cumsum(shocks)

# 3. 定常過程のデータを生成します (ρ = 0.8)
stationary_data <- arima.sim(model = list(ar = 0.8), n = n, innov = shocks)

# --- グラフ描画 ---
# 描画デバイスを3行1列に分割します
par(mfrow = c(3, 1), mar = c(4, 4, 3, 2))

# プロット1: 発散過程
plot(explosive_data,
  type = "l", col = "purple", lwd = 2,
  main = "発散過程 (ρ > 1)",
  xlab = "時間", ylab = "値",
  las = 1
)
# 水平な基準線を追加します
abline(h = 0, col = "gray", lty = 2)


# プロット2: 単位根過程
plot(unit_root_data,
  type = "l", col = "darkblue", lwd = 2,
  main = "単位根過程 (ρ = 1)",
  xlab = "時間", ylab = "", # 2番目以降のY軸ラベルは省略可
  las = 1
)
abline(h = 0, col = "gray", lty = 2)

# プロット3: 定常過程
plot(stationary_data,
  type = "l", col = "darkred", lwd = 2,
  main = "定常過程 (|ρ| < 1)",
  xlab = "時間", ylab = "", # Y軸ラベルを省略
  las = 1
)
abline(h = 0, col = "gray", lty = 2)

左から順に「発散過程」「単位根過程」「定常過程」のグラフを並べています。

• 左（発散過程）: 時間の経過とともに、値が（指数関数的に）変化していく様子がわかります。
• 中央（単位根過程）: 明確なトレンドはないものの、一度離れた水準に戻ることなくランダムに変動を続けています。平均に回帰する様子は見られません。
• 右（定常過程）: 値がゼロ（平均値）の周りを安定して変動していることがわかります。大きなショックがあっても、いずれ平均値の方向に戻ろうとする力（平均回帰性）が働いているのが確認できます。

以上です。