Rの関数:ksmooth {stats}

Rの関数から ksmooth {stats} を確認します。

関数 `ksmooth` とは

ksmooth は、ナダラヤ・ワトソン推定量（Nadaraya-Watson estimator）を用いたカーネル回帰平滑化（Kernel Regression Smoother） を実行するための関数です。

散布図において、説明変数 \(x\) に対する応答変数 \(y\) の非線形な関係性を捉える際、パラメトリックなモデル（多項式回帰など）を仮定せず、局所的な加重平均を用いて滑らかな曲線を推定します。

特定の \(x\) の地点における \(y\) の予測値を計算するにあたり、対象地点に近い観測データには大きな重みを、遠い観測データには小さな重みを与えて平均値を求めます。

重みの与え方を決定する関数が「カーネル（Kernel）」であり、影響を及ぼす範囲を決定するパラメータが「バンド幅（Bandwidth）」です。

関数 `ksmooth` の引数

x
- 説明変数を表す数値ベクトルです。
y
- 応答変数を表す数値ベクトルです。
- x と同じ長さである必要があります。
kernel
- 平滑化に使用するカーネル関数の種類を指定する文字列です。
- "box":
  - ボックスカーネル（一様カーネル）。指定されたバンド幅の範囲内にある全データに等しい重みを与え、範囲外の重みをゼロとします。単純な移動平均に相当します。
- "normal" (デフォルト):
  - 正規（ガウシアン）カーネル。距離に応じて正規分布の形状に従い、滑らかに重みを減衰させます。
bandwidth
- 平滑化の度合い（ウィンドウの幅）を決定する数値です。
- デフォルト: 0.5。
- 値が大きいほど、x軸(説明変数)方向に広範囲のデータを利用して平均を計算するため、結果はより滑らかになります。逆に値が小さいと局所的な変動を拾いやすくなります。正規カーネルの場合、四分位点が \(\pm 0.25 \times \text{bandwidth}\) となるようにスケーリングされます。
range.x
- 平滑化された曲線を評価（出力）する \(x\) 軸の範囲を指定するベクトルです。
- デフォルト: range(x)（入力データ x の最小値から最大値までの範囲）。
n.points
- 平滑化された曲線を評価する点の数（解像度）です。
- デフォルト: max(100L, length(x))。100点、あるいはデータ数と同数のいずれか大きい方が選択されます。
x.points
- 平滑化された値を計算する具体的な \(x\) の座標点を指定するベクトルです。
- 当該引数が指定された場合、range.x および n.points の指定は無視され、関数は x.points で指定された座標にて計算を行います。出力前に内部で昇順にソートされます。

シミュレーションコード

以下に、ksmooth 関数の機能を確認するためのサンプルデータを用いたシミュレーションコードを示します。

本シミュレーションでは、滑らかなサイン波にノイズ(標準偏差0.5の正規分布)を付加した非線形データを生成します。

当該データに対し、カーネルの種類（Box と Normal）およびバンド幅（狭い、適切、広い）を変更しながら ksmooth を適用し、推定される曲線の形状がどのように変化するかを視覚的に比較・検証します。

(注意) 本シミュレーションにおいて「適切」なバンド幅としている 1.5 は、予めバンド幅0.3から5.0の間の複数のバンド幅で試行した結果を利用しています。

# パッケージの読み込み
library(ggplot2)
library(tidyr)

# 乱数シードの固定
seed <- 20260410
set.seed(seed)

# 1. 観測データの生成
n_obs <- 200
x_vals <- runif(n_obs, min = 0, max = 10)
# 意図的な非線形構造（サイン波）をベースとする
true_signal <- sin(x_vals)
# 観測ノイズを付加
y_obs <- true_signal + rnorm(n_obs, mean = 0, sd = 0.5)

df_sim <- data.frame(
  X = x_vals,
  Y = y_obs,
  TrueSignal = true_signal
)

# 2. ksmooth 関数による平滑化の実行

# 平滑化曲線を評価するX座標を統一して生成（描画を滑らかにするため300点）
eval_points <- seq(0, 10, length.out = 300)

# パターンA: ボックスカーネル (移動平均的挙動)
# バンド幅 1.0
res_box <- ksmooth(x_vals, y_obs, kernel = "box", bandwidth = 1.0, x.points = eval_points)

# パターンB: 正規カーネル + 狭いバンド幅 (過剰適合: ノイズを拾う)
res_norm_narrow <- ksmooth(x_vals, y_obs, kernel = "normal", bandwidth = 0.3, x.points = eval_points)

# パターンC: 正規カーネル + 適切なバンド幅 (良好な適合)
res_norm_optimal <- ksmooth(x_vals, y_obs, kernel = "normal", bandwidth = 1.5, x.points = eval_points)

# パターンD: 正規カーネル + 広いバンド幅 (過小適合: 構造を潰す)
res_norm_wide <- ksmooth(x_vals, y_obs, kernel = "normal", bandwidth = 5.0, x.points = eval_points)


# 3. データの整形と可視化

# 予測結果をデータフレームに格納
df_smooth <- data.frame(
  X_eval = eval_points,
  Box_BW1.0 = res_box$y,
  Norm_Narrow = res_norm_narrow$y,
  Norm_Optimal = res_norm_optimal$y,
  Norm_Wide = res_norm_wide$y
)

# ggplot2 で描画するために縦持ち (Long format) に変換
df_plot <- pivot_longer(
  df_smooth, 
  cols = -X_eval,
  names_to = "Method",
  values_to = "Estimate"
)

# ファセット表示用のラベルを設定
df_plot$Method <- factor(
  df_plot$Method,
  levels = c("Box_BW1.0", "Norm_Narrow", "Norm_Optimal", "Norm_Wide"),
  labels = c(
    "1. ボックスカーネル (Bandwidth = 1.0)",
    "2. 正規カーネル: 狭い (Bandwidth = 0.3)",
    "3. 正規カーネル: 適切 (Bandwidth = 1.5)",
    "4. 正規カーネル: 広い (Bandwidth = 5.0)"
  )
)

# プロットの作成
p1 <- ggplot() +
  # 観測データ (灰色の点)
  geom_point(data = df_sim, aes(x = X, y = Y), color = "gray70", size = 1.5, alpha = 0.6) +
  
  # 真の信号 (黒の破線)
  geom_line(data = df_sim, aes(x = X, y = TrueSignal), color = "black", linetype = "dashed", linewidth = 0.5) +
  
  # ksmooth による平滑化結果 (青の実線)
  geom_line(data = df_plot, aes(x = X_eval, y = Estimate), color = "blue", linewidth = 1.2) +
  
  facet_wrap(~Method, ncol = 2) +
  labs(
    title = "ksmooth 関数によるカーネル回帰の比較",
    x = "説明変数 (X)",
    y = "応答変数 (Y)"
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(strip.text = element_text(size = 11, face = "bold"))

print(p1)