Rで有限要素法:片持ち梁-全スパン等分布荷重:たわみ量

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# 片持ち梁のたわみ(等分布荷重):FEM(オイラー・ベルヌーイ梁要素) vs 厳密解
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# 厳密解 (x は自由端Aから測った距離):
#   w(x)  = (p l^4)/(24EI) * { 3 - 4(x/l) + (x/l)^4 }
#   w_max = (p l^4)/(8EI)          [x = 0, 自由端]
#   θ(x)  = (p l^3)/(6EI) * { 1 - (x/l)^3 }
#   θ_A   = (p l^3)/(6EI)          [x = 0, 自由端]
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# 集中荷重との違い:
#   厳密解が4次式になる(集中荷重のときは3次式)。
#   梁要素の近似関数(3次エルミート補間)では4次式を完全には表現できないため、
#   節点では厳密解と一致するが、要素内部にはごくわずかな誤差が生じる。
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# 変数定義:
#   l   : 梁の長さ [m]
#   p   : 等分布荷重の強さ [N/m]
#   E   : ヤング率 [Pa]
#   I   : 断面二次モーメント [m^4]
#   EI  : 曲げ剛性
#   s   : FEM座標(固定端起点)、x = l - s で厳密解の座標に変換

library(ggplot2)

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# 1. 梁の諸元と荷重の設定
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l <- 2.0
p <- 500 # 等分布荷重 [N/m]
E <- 210e9
I <- 4.1667e-6
EI <- E * I

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# 2. 梁要素の剛性行列と等価節点荷重ベクトル
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# 等分布荷重 q をエルミート形状関数で重み付けして積分すると、
# 「等価節点荷重」として次の形が得られる(節点自由度順 [w1,θ1,w2,θ2]):
#   f_e = q * Le * [ 1/2,  Le/12,  1/2,  -Le/12 ]

beam_element_k <- function(Le) {
  (EI / Le^3) * matrix(c(
    12, 6 * Le, -12, 6 * Le,
    6 * Le, 4 * Le^2, -6 * Le, 2 * Le^2,
    -12, -6 * Le, 12, -6 * Le,
    6 * Le, 2 * Le^2, -6 * Le, 4 * Le^2
  ), nrow = 4, byrow = TRUE)
}

beam_element_f <- function(Le, q) {
  q * Le * c(1 / 2, Le / 12, 1 / 2, -Le / 12)
}

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# 3. メッシュ生成と全体行列への組み込み
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n_elem <- 4L
Le <- l / n_elem
n_node <- n_elem + 1L
n_dof <- 2L * n_node

K <- matrix(0, n_dof, n_dof)
F <- numeric(n_dof)
K_e <- beam_element_k(Le)
f_e <- beam_element_f(Le, p)

for (e in seq_len(n_elem)) {
  dofs <- c(2 * e - 1, 2 * e, 2 * e + 1, 2 * e + 2)
  K[dofs, dofs] <- K[dofs, dofs] + K_e
  F[dofs] <- F[dofs] + f_e
}

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# 4. 境界条件(固定端: w=0, θ=0。自由端に集中荷重はなし)
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fixed_dofs <- c(1, 2)
free_dofs <- setdiff(seq_len(n_dof), fixed_dofs)

u <- numeric(n_dof)
u[free_dofs] <- solve(K[free_dofs, free_dofs], F[free_dofs])

w_fem <- u[seq(1, n_dof, by = 2)]
th_fem <- u[seq(2, n_dof, by = 2)]

s_nodes <- seq(0, l, length.out = n_node)
x_nodes <- l - s_nodes

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# 5. 厳密解と節点値の比較
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w_exact_fn <- function(x) (p * l^4) / (24 * EI) * (3 - 4 * (x / l) + (x / l)^4)

comparison <- data.frame(
  自由端起点_x_m = round(x_nodes, 3),
  FEM近似解_mm = round(w_fem * 1000, 8),
  厳密解_mm = round(w_exact_fn(x_nodes) * 1000, 8),
  差_mm = w_fem * 1000 - w_exact_fn(x_nodes) * 1000
)
print(comparison)

cat("\n自由端でのたわみ量:\n")
cat("  FEM近似解:", w_fem[n_node] * 1000, "mm\n")
cat("  厳密解    :", p * l^4 / (8 * EI) * 1000, "mm  (公式: w_max = p l^4 / 8EI)\n")

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# 6. 要素内部を含めた比較(3次エルミート補間 vs 4次の厳密解)
#    ここで、節点では一致するが要素内部でわずかにずれることを確認する
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hermite_w <- function(xi, Le, w1, th1, w2, th2) {
  N1 <- 1 - 3 * xi^2 + 2 * xi^3
  N2 <- Le * (xi - 2 * xi^2 + xi^3)
  N3 <- 3 * xi^2 - 2 * xi^3
  N4 <- Le * (-xi^2 + xi^3)
  N1 * w1 + N2 * th1 + N3 * w2 + N4 * th2
}

fem_curve <- do.call(rbind, lapply(seq_len(n_elem), function(e) {
  xi_seq <- seq(0, 1, length.out = 20)
  w1 <- w_fem[e]
  th1 <- th_fem[e]
  w2 <- w_fem[e + 1]
  th2 <- th_fem[e + 1]
  s_local <- s_nodes[e] + xi_seq * Le
  data.frame(x = l - s_local, w_mm = hermite_w(xi_seq, Le, w1, th1, w2, th2) * 1000)
}))

x_fine <- seq(0, l, length.out = 300)
exact_curve <- data.frame(x = x_fine, w_mm = w_exact_fn(x_fine) * 1000)

# 要素内部での差(誤差)も別途プロットする
fem_curve$w_exact_mm <- w_exact_fn(fem_curve$x) * 1000
fem_curve$diff_um <- (fem_curve$w_mm - fem_curve$w_exact_mm) * 1000 # マイクロメートル単位

p1 <- ggplot() +
  geom_line(data = exact_curve, aes(x = x, y = w_mm, color = "厳密解"), linewidth = 1.2) +
  geom_line(
    data = fem_curve, aes(x = x, y = w_mm, color = "FEM(要素内補間)"),
    linetype = "dashed", linewidth = 0.8
  ) +
  geom_point(
    data = data.frame(x = x_nodes, w_mm = w_fem * 1000),
    aes(x = x, y = w_mm, color = "FEM(節点)"), size = 2
  ) +
  scale_color_manual(values = c(
    "厳密解" = "gray40", "FEM(要素内補間)" = "steelblue",
    "FEM(節点)" = "firebrick"
  ), name = "") +
  labs(
    title = "等分布荷重を受ける片持ち梁のたわみ曲線:FEM vs 厳密解",
    subtitle = paste0("要素数 = ", n_elem, "(節点では一致、要素内部にごくわずかな差)"),
    x = "自由端からの距離 x [m]", y = "たわみ量 w [mm]"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 12)

p2 <- ggplot(fem_curve, aes(x = x, y = diff_um)) +
  geom_line(color = "darkred") +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dotted") +
  labs(
    title = "要素内部での誤差(FEM補間 - 厳密解)",
    x = "自由端からの距離 x [m]", y = "差 [μm](マイクロメートル)"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 12)

print(p1)
print(p2)