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統一原子質量単位 \(\mathrm{u}\) の定義
統一原子質量単位 \(\mathrm{u}\) は「静止して基底状態にある、互いに結合していない炭素12原子(\(^{12}\mathrm C\))1個の質量の 1/12」と定義されています。
\[1\,\mathrm u=\dfrac{1}{12}m(^{12}\mathrm C) \tag{1}\]
2019年SI（国際単位系）改定に伴う2つの変化
2019年5月の国際単位系の改定により、アボガドロ定数\(\,N_\mathrm A\,\)が「実験による測定値」から「不確かさのない定義値(固定値)」に移行しました。
その結果、「\(\mathrm u\) を \(\mathrm{kg}\) に換算する計算方法」と「その不確かさ(誤差)の扱い方」が変化しました。
改定前の関係
改定前はアボガドロ定数は前述のとおり「実験で測定して求める値」であり、「炭素12のモル質量\(\,M(^{12}\mathrm C)\,\)は正確に12g/mol」と定義されていました。
\[M(^{12}\mathrm C)=12\,\mathrm{g/mol} \tag{2}\]
よって、モル質量\(\,M(^{12}\text{C})\,\) は、「原子1個の質量 \(m(^{12}\text{C})\)」に「1モルあたりの個数(アボガドロ定数 \(N_{\text{A}}\))」を掛けた結果になります。
ここで、それぞれの単位は以下のとおりです。
- 原子1個の質量 \(m(^{12}\text{C})\) の単位： \(\text{g}\) （または \(\text{g/particle}\)）
- アボガドロ定数 \(N_{\text{A}}\) の単位： \(\text{mol}^{-1}\) （または \(\text{particle/mol}\)）
したがって、関係式は以下のようになります。
\[m(^{12}\text{C}) \times N_{\text{A}} = M(^{12}\text{C}) \tag{3}\]
両辺の単位を確認すると、 \[\text{g} \times \text{mol}^{-1} = \text{g/mol}\] となり、左右の単位は一致しています。
続いて、式(3)の右辺に、式(2)の「12g/mol」を代入します。
\[m(^{12}\text{C}) \times N_{\text{A}} = 12\text{ g/mol} \tag{4}\]
ここで、式(1)から炭素12原子1個の質量 \[m(^{12}\text{C}) = 12\text{ u}\] を代入します。
\[12\text{ u} \times N_{\text{A}} = 12\text{ g/mol} \tag{5}\]
両辺を 12 で割ります。
\[1\text{ u} \times N_{\text{A}} = 1\text{ g/mol} \tag{6}\]
両辺を \(N_{\text{A}}\) で割ります。
\[1\text{ u} = \frac{1\text{ g/mol}}{N_{\text{A}}} \tag{7}\]
右辺の単位を確認します。
- 分子の単位： \(\text{g/mol}\)
- 分母 \(N_{\text{A}}\) の単位： \(\text{mol}^{-1}\) （すなわち \(1/\text{mol}\)）
よって、
\[\frac{\text{g/mol}}{\text{mol}^{-1}} = \frac{\text{g}}{\text{mol}} \times \text{mol} = \text{g} \tag{8}\]
と、分母と分子の \(\text{mol}\) が相殺され、右辺の単位は「\(\text{g}\)（質量）」だけが残ります。
\(\mathrm g\) から \(\mathrm {kg}\) へ換算すると、
\[1\text{ u} = \frac{10^{-3}\text{ kg/mol}}{N_{\text{A}}} \tag{9}\]
と、\(\mathrm u\) と \(\mathrm {kg}\) はアボガドロ定数で結ばれていました。
分子の「\(10^{-3}\,\mathrm{kg}\)」は定義上、正確な値(不確かさゼロ)でしたので、1\(\,\mathrm u\)をキログラムに換算したときの不確かさは、アボガドロ定数 \(N_\mathrm A\)の測定精度に依存していました。
参考としてアボガドロ定数を \(6.02214076\times 10^{23} \mathrm{mol}^{-1}\) とした場合の \(\mathrm u\)(単位:\(\text g\)) を求めます。
options(digits = 13)
1 / (6.02214076 * 10^23)[1] 1.660539067174e-24改定後の変化
2019年の改定により、アボガドロ定数 \(N_{\text{A}}\) は以下の不確かさのない定義値（固定値）になりました。 \[N_{\text{A}} = 6.022\,140\,76 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}\]
この変更に伴い、質量(kg)の基準も「キログラム原器」から、光のエネルギーなどに関わる物理定数である「プランク定数 \(h\)」へと移行しました。
同時に、炭素12原子1個の実際の質量 \(m(^{12}\text{C})\)（単位:kg）は、実験的に測定する値になりました。
よって、炭素12のモル質量（1モル集めたときの質量）は、正確に12g/mol ではなくなり、わずかな測定誤差を伴う値になりました。
この改定が \(\text{u}\) に与えた影響は、主に以下の2点です。
- キログラム換算時の「不確かさの由来」が変わった
- 改定前：
- 「炭素12の質量は正確に12g」という前提のもと、アボガドロ定数の測定誤差が \(\text{u}\) の不確かさを決めていました。
- 改定後：
- 「アボガドロ定数は正確な固定値」となったため、炭素12原子そのものの質量（キログラム単位）を物理的に測定する際の誤差が、そのまま \(\text{u}\) の不確かさになりました。但し、プランク定数などを仲介した精密な測定によって \(\text{u}\) のキログラム値が決定されています。
- 改定前：
- モル質量定数（\(M_{\text{u}}\)）が 1g/mol でなくなった
- 1モルあたりの原子質量単位を示す「モル質量定数 \(M_{\text{u}} = N_{\text{A}} \times 1\text{ u}\)」は、以前は定義上、正確に 1g/mol でした。
- しかし改定後は、1\(\text{ u}\) のキログラム値に不確かさが生じたため、モル質量定数も測定値となり、現在は以下のようにわずかに 1g/mol から外れた値として決定されています。 \[M_{\text{u}} \approx 0.999\,999\,999\,65(30) \times 10^{-3}\text{ kg/mol}\]
改定後、統一原子質量単位のキログラム換算値は、前述のとおりCODATAが推奨する最新の物理定数をもとに決定されています(末尾の括弧内の数値は標準不確かさを示しています)。
\[1\text{ u} \approx 1.660\,539\,068\,92(52) \times 10^{-27}\text{ kg}\]
この値は、以下のとおりに算出されています。
\[1\text{ u} = \frac{2hR_{\infty}}{\alpha^2 c A_{\text{r}}(\text{e})} \tag{10}\]
式(10)は、「電子の質量 \(m_{\text{e}}\)」を2通りの方法で表現し、それらを等号で結ぶことによって導かれています。
- 原子物理学における電子の質量 \(m_{\text{e}}\) の式
- リュードベリ定数 \(R_{\infty}\) と微細構造定数 \(\alpha\) の定義から、電子の質量 \(m_{\text{e}}\) は以下のように表されます。 \[m_{\text{e}} = \frac{2hR_{\infty}}{\alpha^2 c}\]
- 原子質量単位 \(\text{u}\) を用いた電子の質量 \(m_{\text{e}}\) の式
- 電子の「相対原子質量（\(\text{u}\) を単位とした質量）」を \(A_{\text{r}}(\text{e})\) とすると、定義から以下のようになります。 \[m_{\text{e}} = A_{\text{r}}(\text{e}) \cdot 1\text{ u}\]
これら2つの式を \(1\text{ u}\) について解くと、式(10)が導かれます。
\[1\text{ u} = \frac{2hR_{\infty}}{\alpha^2 c A_{\text{r}}(\text{e})}\]
式(10)を構成する各要素は以下のようなステータス（正確さ）を持っています。
- \(h\)（プランク定数）と \(c\)（光速度）:
- これらは2019年のSI改定により「定義値」となったため、不確かさ（誤差）は完全にゼロです。
- \(R_{\infty}\)（リュードベリ定数）:
- 水素原子などの分光測定（レーザーを用いた超精密測定）から得られる定数で、物理定数の中でも高い精度（桁数は11桁以上）で測定されています。
- \(\alpha\)（微細構造定数）:
- 電磁気学の基本定数であり、原子の反跳（リコイル）測定や電子の異常磁気モーメントの測定から、高い精度（10桁レベル）で決定されています。
- \(A_{\text{r}}(\text{e})\)（電子の相対原子質量）:
- ペニング・トラップと呼ばれる装置を用いて、炭素12などのイオンと電子のサイクロトロン振動数を比較することで、精密に測定されています。
以下に式(10)に各定数を代入して \(\text u\) を求めてみます。
プランク定数：
\[
h=6.626\,070\,15\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}
\]
リュードベリ定数：
\[
R_\infty
=
1.097\,373\,156\,815\,7\times10^7\ \mathrm{m^{-1}}
\]
微細構造定数：
\[
\alpha
=
7.297\,352\,564\,3\times10^{-3}
\]
光速：
\[
c=299\,792\,458\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}
\]
電子の相対原子質量：
\[
A_r(e)
=
5.485\,799\,090\,441\times10^{-4}
\]
options(digits = 12)
h <- 6.62607015 * 10^-34
R <- 1.0973731568157 * 10^7
a <- 7.2973525643 * 10^-3
c <- 299792458
Are <- 5.485799090441 * 10^-4
2 * h * R / (a^2 * c * Are)[1] 1.66053906893e-27単位のみを確認します。
\[
\begin{eqnarray}
1\,\mathrm u
&=&\frac{2hR_{\infty}}{\alpha^2 c A_{\text{r}}(\text{e})}\\
&=&
\dfrac{
(\mathrm{J\cdot s})
(\mathrm{m^{-1}})
}{(-)
(\mathrm{m\cdot s^{-1}})(-)
}\\
&=&\dfrac{
\mathrm{kg\cdot m^2\cdot s^{-2}\cdot s\cdot m^{-1}}}{\mathrm{m\cdot s^{-1}}}
\\
&=&\dfrac{
\mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-1}}}{\mathrm{m\cdot s^{-1}}}
\\
&=&
\mathrm{kg}
\end{eqnarray}
\]
以上です。
