真空の誘電率
https://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt によりますと、NIST/CODATA 2022では vacuum electric permittivity として、次のとおりに記されています。
\[
\varepsilon_0 = 8.854\,187\,8188(14) \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}(ファラド毎メートル)
\tag{1}\]
2019年のSI改定後、\(\varepsilon_0\)は定義値ではなく測定で決まる量になっています。
具体的には、真空の誘電率\(\,\varepsilon_0\,\)は、光速 \(c\)、プランク定数 \(h\)、電気素量 \(e\) 、微細構造定数 \(\alpha\) から 式 2 により導かれますが、微細構造定数以外は定義値として固定されているため、真空の誘電率の不確かさは微細構造定数の測定の不確かさによって決まります。
\[
\varepsilon_0 = \frac{e^2}{2\alpha h c}
\tag{2}\]
以下に 式 2 に基づき、真空の誘電率を算出します。
# CODATA 2022 推奨値
c_light <- 299792458 # 光速 [m/s](定義値)
h <- 6.62607015e-34 # プランク定数 [J s](定義値)
e <- 1.602176634e-19 # 電気素量 [C](定義値)
alpha_inv <- 137.035999177 # 微細構造定数の逆数
alpha_inv_u <- 0.000000021 # 1/α の標準不確かさ
# ε0 を 1/α から計算する関数: ε0 = e^2 / (2 α h c) = e^2 * (1/α) / (2 h c)
calc_eps0 <- function(a_inv) e^2 * a_inv / (2 * h * c_light)
# 中心値
eps0 <- calc_eps0(alpha_inv)
# 方法1:1/α の上限・下限から直接計算(±1σ)
eps0_lo <- calc_eps0(alpha_inv - alpha_inv_u)
eps0_hi <- calc_eps0(alpha_inv + alpha_inv_u)
# 方法2:不確かさの伝播(ε0 は 1/α に比例するので相対不確かさは同じ)
rel_u <- alpha_inv_u / alpha_inv
eps0_u <- eps0 * rel_u
# 中心値・下限・上限は小数点以下10桁(仮数部)に統一
cat(sprintf("中心値 : %.10e F/m\n", eps0))
cat(sprintf("標準不確かさ : %.3e F/m (相対 %.3e)\n", eps0_u, rel_u))
cat(sprintf("標準不確かさ : %.10f e-12 F/m\n", eps0_u / 1e-12))
cat(sprintf("下限 (-1σ) : %.10e F/m\n", eps0_lo))
cat(sprintf("上限 (+1σ) : %.10e F/m\n", eps0_hi))
cat(sprintf("幅 (上限-下限): %.3e F/m\n", eps0_hi - eps0_lo))
# 公表値の形式 8.8541878188(14)e-12 に整形
mant <- eps0 / 1e-12 # 仮数部(8.854...)
mant_u <- eps0_u / 1e-12 # 仮数部の不確かさ
unc_digits <- round(mant_u / 1e-10) # 小数第10位を単位とした不確かさ(括弧内の数字)
cat(sprintf("公表値の形式 : %.10f(%d)e-12 F/m\n", mant, unc_digits))中心値 : 8.8541878188e-12 F/m
標準不確かさ : 1.357e-21 F/m (相対 1.532e-10)
標準不確かさ : 0.0000000014 e-12 F/m
下限 (-1σ) : 8.8541878174e-12 F/m
上限 (+1σ) : 8.8541878202e-12 F/m
幅 (上限-下限): 2.714e-21 F/m
公表値の形式 : 8.8541878188(14)e-12 F/m最後に単位を確認します。
\[
\begin{aligned}
[\varepsilon_0]
&= \dfrac{[e]^2}{[\alpha]\,[h]\,[c]} \\[1ex]
&= \dfrac{\mathrm{C^2}}{1 \cdot \mathrm{J\,s} \cdot \mathrm{m\,s^{-1}}} \\[1ex]
&= \dfrac{\mathrm{C^2}}{\mathrm{J\,m}} \\[1ex]
&= \dfrac{\mathrm{C^2}}{\mathrm{Nm\cdot m}} \\[1ex]
&= \mathrm{F\,m^{-1}}
\end{aligned}
\]
SI 基本単位まで展開します。
\[
\begin{aligned}
[\varepsilon_0]
&= \frac{(\mathrm{A\,s})^2}{(\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}) \cdot (\mathrm{m\,s^{-1}})} \\[1ex]
&= \frac{\mathrm{A^2\,s^2}}{\mathrm{kg\,m^3\,s^{-2}}} \\[1ex]
&= \mathrm{m^{-3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{4}\cdot A^{2}}
\end{aligned}
\]
以上です。
